Talteori

Begrepp

Följande ord används inom detta område.
Svaret visas när du klickar på frågan.

1. Vad är ett primtal respektive ett sammansatt tal?
   Ett primtal är ett heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt. Exempel: 2,3,5,7,11,...
   Ett sammansatt tal är produkten av flera primtal. Exempel: 6 = 3 · 2
2. Vad innebär det att två heltal är relativt prima?
   Två tal är relativt prima om deras största gemensamma delare är 1. Detta innebär att om du delar upp talen i sina primtalsfaktorar så finns det ingen primtalsfaktor som är gemensam för de båda talen. Exempel: 6 = 3 · 2 och 35 = 5 · 7 vilket betyder att 6 och 35 är relativt prima.
3. Hur kan man avgöra om ett heltal är delbart med 2, 3 eller 5?
   Ett tal är delbart med 2 om dess sista siffra är jämn (0, 2, 4, 6 eller 8).
   Ett tal är delbart med 3 om summan av dess siffror är delbar med 3. Exempel: 123 → 1 + 2 + 3 = 6 (delbart med 3).
   Ett tal är delbart med 5 om det slutar på 0 eller 5.
4. Hur kan man avgöra om ett heltal är delbart med 6 eller 25?
   För att ett tal ska vara delbart med ett sammansatt tal såsom 6 så måste talet vara delbart med både 2 och 3. Det sammansatta talet 25 har två fakorer 5 och då måste även talet som ska delas med 25 ha två faktorer 5.
5. Vad är största gemensamma delare och största gemensamma faktor?
   Största gemensamma delare (SGD) och största gemensamma faktor (SGF) är samma sak – det största heltalet som delar två eller flera tal utan rest. Exempel: SGF(12,42) = 6 eftersom 12 = 2 · 2 · 3 och 42 = 2 · 3 · 7. Både 12 och 42 har faktorn 6 men ingen större gemensam faktor.
6. Vad är minsta gemensamma multipel?
   Minsta gemensamma multipel (MGM) av två eller flera heltal är det minsta positiva talet som är en multipel av alla talen. Exempel: MGM(12,42) = 84 eftersom både talet 12 = 2 · 2 · 3 och talet 42 = 2 · 3 · 7 ska kunna bildas med primtalsfatorerna i 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
7. Vad betyder det att två tal är kongruenta modulo $n$?
   Två tal är kongruenta modulo $n$ om de ger samma rest vid division med $n$. Exempel: Om man delar med fem så är 7 och 12 kongruenta eftersom båda ger resten 2.
8. Förklara egenskaperna hos det decimala positionssystemet?
   Det decimala positionssystemet är det vanligaste talsystemet vi använder i vardagen. Det är ett positionssystem, vilket betyder att värdet av en siffra beror både på siffran själv och dess position i talet. Basen är tio och symbolerna 0,1,2,3,4,5,6,7,8 och 9 används.
   Talet 234 kan skrivas i utvecklad form 2·10²+3·10¹+4·10⁰
9. Förklara egenskaperna hos det binära positionssystemet?
   Det binära positionssystemet används vanligen i samband med datorer. Det är ett positionssystem, vilket betyder att värdet av en siffra beror både på siffran själv och dess position i talet. Basen är två och endast symbolerna 0 och 1 används.
   Det binära talet 1011 = 1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰ (dvs elva)
10. Förklara egenskaperna hos det hexadecimala positionssystemet?
    Det hexadecimala positionssystemet används vanligen i samband med datorer. Det är ett positionssystem, vilket betyder att värdet av en siffra beror både på siffran själv och dess position i talet. Basen är sexton och symbolerna 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E och F används.
    Det hexadecimala talet 2A = 2·16¹+10·16⁰ (dvs fyrtiotvå)
11. Vad är en aritmetisk talföljd?
    En aritmetisk talföljd är en följd av tal där differensen mellan två på varandra följande termer är konstant. Exempel: 2,4,6,8,...
12. Vad är en geometrisk talföljd?
    En geometrisk talföljd är en följd av tal där kvoten mellan två på varandra följande termer är konstant. Exempel: 3,9,27,81,...
13. Vad är en rekursiv formel?
    En rekursiv formel är en formel som definierar ett tal i en följd utifrån tidigare värden i samma följd. Det betyder att man måste känna till ett eller flera föregående värden för att kunna beräkna nästa.
14. Förklara skillnaden mellan en rekursiv formel och en sluten formel.
    Skillnaden mellan en rekursiv formel och en sluten formel ligger i hur de beskriver en talföljd:
    Rekursiv formel: Definierar varje term baserat på föregående termer.
    Sluten formel: Ger en direkt formel för valfri term utan att behöva beräkna tidigare termer. En sluten formel kan också benämnas en explicit formel.

Koncept

Konceptfrågor fokuserar på förståelse och resonemang snarare än rena beräkningar. Svaret visas när du klickar på frågan.

1. Hur kan vi avgöra om ett heltal är delbart med ett annat tal? Ge exempel.
   För ett tal A ska var delbart med tal B så måste A innehålla de primtalsfaktorer som finns i B. Exempel: 12 = 2 · 2 · 3 är delbart med 6 = 2 · 3 eftersom 12 innehåller faktorerna i 6.
2. Hur kan man avgöra om ett tal är ett primtal utan att testa alla möjliga delare?
   Det räcker att testa delbarhet med primtal upp till $\sqrt{n}$ för talet $n$. Exempel: för talet 29 ehöver vi bara testa delbarhet med primtalen 2, 3 och 5 eftersom $\sqrt{29}=5,39$. Om det hade funnits en större delare så är det också funnits en tillhörande mindre delare.
3. Varför är SGF(a,b) · MGM(a,b) = a · b?
   MGM har alla faktorer som behövs för att bilda a och b. Det finns dock bara en uppsättning av de gemensamma faktorerna i a och b. SGF lägger till en uppsättning till av de gemensamma faktorerna så att vi nu kan bilda både a och b. Exempel: SGF(12,42) · MGM(12,42) = 2·3 · 2·2·3·7 = 2·2·3 · 2·3·7 = 12 · 42.